Discriminant

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Définition

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que $a \neq 0$ .

On appelle discriminant du trinôme $a z^{2} + b z + c$ le nombre réel, noté $Δ$ , défini par $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Théorème

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que $a \neq 0$ . Soit $Δ = b^{2} - 4 a c$ le discriminant du trinôme $a z^{2} + b z + c$ .

On considère l'équation d'inconnue $z \in C$ : $(E) : a z^{2} + b z + c = 0$ .

1. Si $Δ > 0$ , alors $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes : $S = {\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}}$ .

2. Si $Δ = 0$ , alors $(E)$ admet une unique solution réelle : $S = {\frac{- b}{2 a}}$ .

3. Si $Δ < 0$ , alors $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées : $S = {\frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}; \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}}$

Démonstration

1. Soit $z \in C$ . Comme $a \neq 0$ , on a :
$\begin{aligned} a z^{2} + b z + c = a [z^{2} + \frac{b}{a} z + \frac{c}{a}] & = a [z^{2} + 2 \times \frac{b}{2 a} z + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}] \\ = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{4 a c}{4 a^{2}}] \\ = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}] \\ = a [{(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] \end{aligned}$

et donc, en utilisant de nouveau que $a \neq 0$ , on a : $\begin{aligned} a z^{2} + b z + c = 0 & ⟺ {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} = 0 (⋆) . \end{aligned}$

2. Si $Δ = 0$ , l'égalité $(⋆)$ s'écrit :
$\begin{array}{r} {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0 ⟺ z + \frac{b}{2 a} = 0 ⟺ z = - \frac{b}{2 a} \end{array}$
et donc $S = {\frac{- b}{2 a}}$ .

3. Si $Δ > 0$ , alors $Δ = {(\sqrt{Δ})}^{2}$ et l'égalité $(⋆)$ peut s'écrire :
$\begin{aligned} {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{{(\sqrt{Δ})}^{2}}{(2 a)^{2}} = 0 & ⟺ {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2} = 0 \\ ⟺ (z + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (z + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}) = 0 \\ ⟺ z + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a} = 0 ou z + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a} = 0 \\ ⟺ z = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} ou z = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \end{aligned}$
et donc $S = {\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}}$ .

Si $Δ < 0$ , alors $- Δ > 0$ et donc $\sqrt{- Δ}$ est bien définie. L'égalité $(⋆)$ peut s'écrire :
$\begin{aligned} {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{- {(\sqrt{- Δ})}^{2}}{(2 a)^{2}} = 0 & ⟺ {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{i^{2} {(\sqrt{- Δ})}^{2}}{(2 a)^{2}} = 0 \\ ⟺ {(z + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{i \sqrt{- Δ}}{2 a})}^{2} = 0 \\ ⟺ (z + \frac{b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}) (z + \frac{b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}) = 0 \\ ⟺ z + \frac{b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} = 0 ou z + \frac{b - i \sqrt{- Δ}}{2 a} = 0 \\ ⟺ z = \frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a} ou z = \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a} \end{aligned}$
et donc $S = {\frac{- b - i \sqrt{- Δ}}{2 a}; \frac{- b + i \sqrt{- Δ}}{2 a}}$ .

Remarque

Dans le cas où $Δ < 0$ , les solutions de $(E)$ sont conjuguées : il suffit d'en calculer une pour trouver l'autre par conjugaison.

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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